的多项式线性空间， 为求导变换（即f(x)=f ’(x)），求证 - 为非退化线性变换（其中 为恒等变换），并求出 的所有不变子空间。（14分）JDy97-6
已知线性无关向量组e1,e2,…,es和两个非零向量的正交组f1,f2,…,fs与g1,g2,…,gs使得fk和gk(k=1,2,…,s)可由e1,e2,…,ek线性表示，求证fk=akgk(k=1,2,…,s)，其中ak0。（14分）
JDy97-7
(1) 设J(x)为方阵X的若当标准形，证明J(A+aE)=J(A)+aE，其中A是任一方矩阵，a是一个数。（8分）
(2) 求幂等方阵A（即满足条件A2=A）的若当标准形。（8分）
JDy98-1
叙述下列概念：1）数域；2）对称多项式；3）向量的线性相关；4）矩阵的秩；5）欧氏空间。 （每小题4分，共20分）
JDy98-2
求线性方程组的解：
JDy98-3
求出一切仅与自己相似的n阶复方阵。(10分)
JDy98-4
若A=，求证：A100 为单位矩阵。(10分)
JDy98-5
若, , 为线性空间V的一组基，V上的线性变换A满足：
A()=3-2+3, A()=2-2+6, A()= -+2 - ,
求V一组基，使A在该基下的矩阵为对角矩阵。(10分)
JDy98-6
若A为n阶实对称矩阵，S为n阶实反对称矩阵，且AS=SA，A - S为可逆矩阵。求证：(A+S)(A-S)-1 为正交阵。(10分)
JDy98-7
若实n维向量空间V的子空间W={V | A-0}，A=，
试求：W的正交补的一组基。(10分)
JDy98-8
若f()为 的复系数多项式，复方阵A的特征值都不是f() 的根。求证：方阵f(A)可逆。且其逆为A的多项式。(10分)
JDy98-9
若A, C为同阶正定矩阵，矩阵方程AX+XA=C有唯一解B。求证：B为正定矩阵。(10分)
JDy99-1
设P为数域。f(x), g(x)P[x]。令F(x)=(x2+1)f(x)+(x2+x+1)g(x); G(x)=xf(x)+(x+1)g(x)。证明：若f(x)与g(x)互素，则F(x)与G(x)也必互素。 (10分)
JDy99-2
设J为元素全为1的n阶方阵。(1) 求J的特征多项式的最小多项式；(2) 设f(x)为复数域上多项式。证明f(J) 必相似于对角矩阵。 (10分)
JDy99-3
(1)设n阶实对称矩阵A=(xij)，其中xij=aiaj+1，且a1+a2+…+an=0。求A的n个特征值。
(2)设A为复数域上n阶方阵，若A的特征根全为0，证明：|A+E|=1。此处E为n阶单位矩阵。 (10分)
JDy99-4
设f(x)是数域F上的二次多项式，在F内有互不相同的根x1,x2，设A是F上线性空间L的一个线性变换，且Ax1I，Ax2I（I是单位变换）且满足f(A)=0，证明x1, x2为A的特征值；且L可以分解为A的属于x1, x2的特征子空间的直和。 (10分)
JDy99-5
用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：
x12 – 2x22 – 2x32 - 4x1x2 +4x1x3 +8x1x4 (10分)
JDy99-6
对t的不同的取值，讨论下面方程组的可解性并求解： (10分)
JDy99-7
假设A为mn实矩阵，B为n1实矩阵。AT表示A的转置矩阵，证明：(1) AB=0的充要条件是ATAB=0；(2) 矩阵ATA与矩阵A有相同的秩。 (10分)
JDy99-8
设A1,A2,…,An均为n阶矩阵且A1A2…An=0。证明这p个矩阵的秩之和小于等于(p-1)n，
并举例说明等式可以达到。 (10分)
JDy99-9
证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定矩阵和一个正交矩阵之积。 (10分)
JDy99-10
设W是欧氏空间V的一个子空间。bV，aW。证明若对任意cW, |b-a||b-c|，
则 (b-a)W。 (10分)
JDy00-1
计算行列式 Dn = (10分)
JDy00-2
设A和D为n阶正定矩阵。已知矩阵B是方程AX+XA=D的唯一解。求证：(1) B是实对称矩阵；(2) B是正定矩阵。(12分)
JDy00-3
设R[x]为次数小于等于2的实系数多项式全体，令 f1=1；f2= x-1；f3=(x-2)(x-1)。
试证 f1 , f2 , f3 是R[x]的一组基。 (10分)
JDy00-4
设A为3阶实对称矩阵，特征值为 1, 2, 3。对应于1, 2的特征向量分别为 1=(-1,-1,1)T，2=(1,-2,-1)T。求：(1) 对应于3的特征向量 3；(2) 矩阵A。 (12分)
JDy00-5
已知线性方程组，其中为常数。问：(1) 取何值时，该方程组无解？(2) 取何值时，该方程组有解？求出其通解。(12分)
JDy00-6
已知二次型 f(x1,x2,x3) = 2x12+3x22+3x32+2ax2x3 (a>0)。通过正交变换化为标准型 f=y12=2y22+5y32。求参数 a 及所用的正交变换矩阵。(12分)
JDy00-7
A, B, C均为n阶方阵，M=。(1) 试证M可逆的充要条件是AB可逆；(2) 如果M可逆，试求逆矩阵。(12分)
JDy00-8
设矩阵A=。求A的不变因子，初等因子及Jordan标准形。(10分)
JDy00-9
设V是n维欧氏空间，1,2,…,n是V的一组基。证明：对于任意n个实数b1,b2,…,bn，恰有一个向量V；使得(,i)=bi , i=1,2,…,n。(10分)
JDy00-10
JDy01-1
在数域Z/5Z上将多项式x4+x2+1分解为不可约多项式的乘积。(10分)
JDy01-2
求解如下矩阵方程：P= . (10分)
JDy01-3
解线性方程组： (10分)
JDy01-4
求向量组{(x1,x2,…,x)|xi=1或-1}的极大正交向量子组所含向量的个数，并说明理由。(10分)
JDy01-5
设a,b,c是三维线性空间的一组基，A是这个空间的线性变换，它使Aa=3a-2b+3c；Ab=2a-2b+6c；Ac= -a+2b - c；。(1)求A在基a,b,c下的矩阵；(2)求A的特征值和线性无关的特征向量；(3)给出可逆矩阵T和对称矩阵D，使得T-1AT=D 。(10分)
JDy01-6
用正交变换化二次型f(x1,x2,x3,x4) = 2x1x2 +2x1x3 -2x1x4 - 2x2x3+2x2x4+2x3x4 为标准形，并给出所施行的正交变换。(10分)
JDy01-7
用初等变换将 矩阵化为标准形。(10分)
JDy01-8
设A为n阶实对称矩阵，证明对充分小的正数a，矩阵E+aA是正定矩阵，其中E是n阶单位矩阵。(10分)
JDy01-9
设A为n阶方阵，矩阵E - A的特征值的实数的绝对值均小于1，其中E是n阶单位矩阵。试证：矩阵A的行列式的值严格地介于0和2 n之间。(10分)
JDy01-10
设V1, V2是线性空间V的子空间，且dim(V1+V2)= dim(V1∩V2)+1。证明只有两种可能：V1+V2=V1且V1∩V2=V2，或V1+V2=V2且V1∩V2=V1且。(10分)
JDy02-1
设f1(x)=af(x)+bg(x)，g1(x)=cf(x)+dg(x) 且ad-bc 0，证明：(f(x),g(x))= (f1(x),g1(x))。(12分)
JDy02-2
计算行列式 ， (14分)
JDy02-3
问k取何值时，下列方程组AX=：(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解，这时求它的通解，其中 A=, = (15分)
JDy02-4
设A为数域P上n阶可逆矩阵，任意将A分为两个子块A=，证明n维线性空间Pn是齐次线性方程组A1X=0的解空间V1与A2X=0的解空间V2的直和。(12分)
JDy02-5
设f(x)是方阵A的特征多项式，g(x)为任一多项式且(f(x),g(x))=d(x)。证明：秩(g(A))=秩(d(A))。(10分)
JDy02-6
求正交变换化二次型f=2x12-5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3为标准型。(12分)
JDy02-7
设为线性空间V的一个线性变换，2=，证明：(1) 的特征值只能为1或0；(2) 若用V1与V0分别表示对应于特征值1和0的特征子空间，则V1=V，V0=- -1(0)；(3) V=V- -1(0)。(15分)
JDy02-8
设A, B为n阶可对角化矩阵，且AB=BA，证明：A, B可同时对角化。(10分)
JDy03-1
设A=，求 A100 。（15分）
JDy03-2
以P22表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设a1,a2,a3,a4为两两互异的数，而且它们的和不等于零。试证明A1=，A2=，A3=，A4=，是P上线性空间P44的一组基。（15分）
JDy03-3
证明：n阶实对称矩阵A的秩为r (rn)当且仅当A可以写成A=CBCT，其中B为nr阶满秩矩阵，C为r阶可逆实对称矩阵。（15分）
JDy03-4
假设f0(x5)+x f1(x10)+ x2f2(x15)+ x3f3(x20)+ x4f4(x25) 被 x4+x3+ x2+x+1 整除，证明：fi(x) (i=0,1,2,3,4) 被 x-1整除。（15分）
JDy03-5
设A为n阶反对称实矩阵，B=diag{a1,a2,…,an}，其中ai>0。证明 |A+B|>0。（15分）
JDy03-6
n阶方阵A满足等式A=A2，当且仅当 n = r(A)+r(E-A)。（15分）
JDy03-7
设A, B都是n阶实方阵，并设为BA的非零特征值，以VBA表示BA关于的特征子空间；(1) 证明：也是AB的特征值；(2) 证明：维数(VBA) = 维数(VAB)。（20分）
JDy03-8
设A, B都是n阶正定方阵，试证明：AB的特征值为实数。（20分）
JDy03-9
记V=Pnn，P为数域，假设AV 有特征值i (i=1,2…,n)，但 -i (i=1,2…,n) 均不是A的特征值，试证明：V的变换 ：XXA + ATX 为同构。（20分）
JDy04-1
假设f1(x)与f2(x)为次数不超过3的首系数为1的互素多项式，假设x4+x2+1整除f1(x3)+x4f2(x3)。试求f1(x)与f2(x)的最大公因式。（15分）
JDy04-2
以P33表示数域P上所有33矩阵组成的线性空间。对于A=，求所有与A可交换（即满足AB=BA）的矩阵B组成的线性子空间的维数及一组基。（25分）
JDy04-3
对于阶数分别为n, m的实对称方阵A与B，假设m阶矩阵B是正定矩阵，试证明：存在非零矩阵H，使得B=HAHT成为正定矩阵。（HT表示H矩阵的转置）（15分）
JDy04-4
假设1,2,…,m与1,2,…,m是n维欧氏空间中的向量组。证明：存在正交变换 使得 (i)=I 对于所有的i=1,2…,m，成立，当且仅当内积 (i,j)=(ij) i, j . （25分）
JDy04-5
求下列多项式的所有根：f(x)= （15分）
JDy04-6
用V1, V2分别表示以下两个关于未知数x,y,z的方程组： ，
的解空间：试确定a, b的值使得V1+V2为V1与V2的直和。（15分）
JDy04-7
设n阶方阵A满足 A3-6A2+11A-6E=0。试确定使得kE+A可逆的数k的范围。（E为单位矩阵）（15分）
JDy04-8
对于数域P上的n维线性空间V，假设存在V上的线性变换 , , ，满足
(1) =0; (2) 的秩小于的秩。试证明：与至少有一个公共的特征向量。（15分）
JDy04-9
如果数域P上的n维线性空间V的线性变换在P中有n个两两互异的特征值。试求出的不变子空间的个数（要求写出详细的解题过程）（10分）