二项式定理练习题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在ade1e124776cf4745ea1f41fd0e06bf4.png的展开式中，0e98bfd9a5b4f7bba1f6327f372a2822.png的系数为 （ ）

A．d68579c4f7eb09b81ae95a38428470e4.png B．80809843b33baa5cce8f2e4687a73d1c.png C．69bca520b1408fef6c78c423ac5db8dc.png D．91fb13385d04fd6c2dbce4f7511549f9.png

2． 已知8fec9599f7fa820ba8b63171d3b9a122.png， 5b28539b296117cee2efff5811cad994.png的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于 （ ）

A．4 B．9 C．10 D．11

3．已知（0df2a547d7b33051692b466e11fd770f.png的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

4．5310被8除的余数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．7

5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 （ ）

A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34

6．二项式c8103ca84338f4ead6ecb0a9aa63e871.png (n3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是　　　 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设(3x5f5019ba083f86ca3682acde82eab10b.png+x573d95d5a55b80067561d6511314f170.png)8200f691f48af7b419159ca8ea951b.png展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x272ba5cfd27d670bc65e40587345c3.png项的系数是 （ ）

A．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B．1 C．2 D．3

8．在b2a5dbb43148667d617f22fca20096eb.png的展开式中7a47687226b8a6b097ae16e6de59da37.png的系数为 （ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

9．a188dc7ceb1611081e8d8345e69421fa.png展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是

（ ）

A．330 B．462 C．680 D．790

10．da5d9cc734de409a011851b5c1d3a4.png的展开式中，bf0c8ff90b875a8678a9f61f6ef6105c.png的系数为 （ ）

A．－40 B．10 C．40 D．45

11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png，则x在[0，2π]内的值为 （ ）

A．81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png或c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png B．81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png或d5d141e4e881e3e513453cfa0f09abd4.png

C．c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png或15a638c09d3e9bb4597ce8bf69141c36.png D．c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png或d5d141e4e881e3e513453cfa0f09abd4.png

12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的 （ ）

A．第2项 B．第11项 C．第20项 D．第24项

二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.

13．fafd1e6238e9f0ef1c5e1be2fc842a44.png展开式中f81fed6f26bb1667dea76ed572714052.png的系数是 .

14．若936e1259534f96ae6260c962804ff3a7.png，则2858b49e11988022a1241a7b41937aee.png的值为__________.

15．若 69fe1eee43e2d46c4eac1121afd8ef35.png的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是         .

16．对于二项式(1-x)c20e3274d18340496d0c1b248c2a6b.png，有下列四个命题：

①展开式中T3b7a343bb8d1e6df0a0e28eb63a421a9.png= －C7165eef80cd2be09baf54b9135bc19.png9aa4a81e1372d86a0f611204e6116f0b.pngxe6807dc7f5a43d884a376b8fc757d129.png；

②展开式中非常数项的系数和是1；

③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；

④当x=2000时，(1-x)c20e3274d18340496d0c1b248c2a6b.png除以2000的余数是1．

其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题：本大题满分74分.

17．（12分）若a598469f1b569d352eae249b88368ad8.png展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．

（1）求n的值；

（２）此展开式中是否有常数项，为什么？

18．（12分）已知(0b5cafdc6bac32912e83c3328ab36b.png)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．

19．（12分）是否存在等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，使65122e6fdb143ebc6c944a8ddc66.png对任意f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png都成立？若存在，求出数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；若不存在，请说明理由．

20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？

21. （12分）设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n142c517ba344f125db6bf1ee7b5751ea.png)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.

22．（14分）规定7a2f5cfc75e208447808b7357b353e43.png，其中x∈R，m是正整数，且c85a6c2c3b28cea48c39669096f8f7c6.png，这是组合数6c391bb5153b018e70c3cab51be472.png（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．

(1) 求632a8434656a33be5ad87ce359134b69.png的值；

(2) 设x>０，当x为何值时，6c0ded3cc60827b02286a23608d1b8c3.png取得最小值？

(3) 组合数的两个性质；

①4833b8f992d284c14ef9f3190ec568.png.　　②5d409e149eb39df76203921d127d092c.png.

是否都能推广到4aa4d7245397925f1158cf047d3d8d38.png（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.

参

一、选择题

1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C

3．解：fad55bb4d980ae5137a4a04f26bd3829.png，2ce58e06c8b6705a9b43b40f1d39c7ce.png．

5．解：(1.05)6 =f15723cf0e91e1c0c43f25eeaae3d97e.png

=1+0.3+0.0375+0.0025+…953f2b15b42147df5182f2ef59b20ee4.png1.34．

6．解：3a7b261c512b66b7b15999711919df.png，r=0,1,…,8. 设e0ee6af2ecb3383a4499c3e953c638.png，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).

7．解：由2b33ead2f7903d7253d73f8bf12fc19e.png得a4028361901e9a4068cd1385aa34b800.png，n=4,06b274f1b823a0984d00130d2f637e.png, 取r=4.

8．解：设b2a5dbb43148667d617f22fca20096eb.png=763c90dd800ef20f621f6a4c00a98837.png的展开式的通项为e3cf13370a0b919e4b68ca277bc511c6.png 则5c65fc0d84a6c0232cdac96a0c36cf70.png(r=0,1,2,…,6). 二项式1ae5246dafa3bef699fffe78c1210daf.png展开式的通项为

8b7a320b45861bbeb19b57f3f9650b37.png(n=0,1,2,…,r)

b2a5dbb43148667d617f22fca20096eb.png的展开式的通项公式为6ee904bc8e0e875675388a606ec983e5.png

令r+n=5,则n=5-rc7eda399d2b0912acf35c82eaabd856a.pngr=3,4,5,n=2,1,0.

b2a5dbb43148667d617f22fca20096eb.png展开式中含7a47687226b8a6b097ae16e6de59da37.png项的系数为: 8cdecb2c62c780e4605bdc9b6db0bd90.png

9．解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x =1 即得所有项系数之和，a7336c32d62bf70a149ac3d7455d15.png各项的系数为二项式系数，故系统最大值为74d3b1d9014f213cf0338e9301443253.png或4b6d6f3021a337bfd2f6cc75e39e71b2.png，为462．

10．解：da5d9cc734de409a011851b5c1d3a4.png=ec977d61fc5fe474c9c03948092f8bfa.png

=a974ec3bb5d8aa919d0f410e0a25e9.png8db4d95f0f578066cc518c2062ee11e8.png=e6543bcab25e73e7813fcc2ca6ed29.png

bf0c8ff90b875a8678a9f61f6ef6105c.png的系数为27da107441ba450b683168705df2ee3c.png

二、填空题

13．beced682ae6ebce4cd53dd6c010b2a.png； 14．1； 15．9a4b5f97cfea27c16e9570d9f7a5f9.png=210； 16．①④．

三、解答题

17．解：（１）n = 7 （6分）（２）无常数项（6分）

18．解：由d5a33f9dd107200b56f0f8ee57c44567.png(3 分)得fbbe8f2e04156ae56a68e82d8a9fa420.png（5分），得662f2f63485160658057cdacac083dc8.png．（8分）fffe1ee3b714473d3ab6faeee82677.png，该项的系数最大，为e85ed74e421d59a4f796ef5f82b496.png．（12分）

19．解：假设存在等差数列d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png473c2f8b0f514d0c4810fa2545432b13.png满足要求（2分）da1147f8e9a31aad92c2386f812c98ac.png4d7097aa943282bd8a54902714ec2a3d.png（4分）=088834fe109e08fc2e82281d9b8c33.pnga308fa3409a755e15839840d2496e4c5.png（8分）

依题意5c56806f45599a9292defa6c6a9960c2.png，818a20fd7ccce077718085ff73aaa7.png对f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png恒成立，（10分）dc059b6e3f9206516cf6508398d8ad.png87dd9e833d58394690e907aed4c2e01c.png, 所求的等差数列存在，其通项公式为80caf7655b195b33dbfe0d6ef3f5bc53.png．（12分）

20．解：设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，（2分）依题意

d16af0e7094147d6ef36ed2930efae9b.png（6分）

化简：21bbad131d515c2613ef14c5000ec28b.png（8分）

255e861a328e460aea0037d7d722e4b3.png（10分）

507ee13c52ab3569b7c32e29ea5a49.png

5965d935e035800cf1cb7de7c123e8c7.png（亩）

答：耕地平均每年至多只能减少4亩．（12分）

21．解：展开式中，关于x的一次项系数为6cdd50a87075bbd6dc80a6363a2b59.png（3分）关于x的二次项系数为f0e944447b66947ed014e5e738d080a1.png，（8分）当n=5或6时，含x2项的系数取最小值25，此时m=6,n=5或 m=5,n=6. （12分）

22．解：(1)df5cd982b1ec6b3ae7540fd61e7a8fb4.png . （4分）

(2) ce2b9fe7df47c21397575b41e3c5a6.png . （6分） ∵　x > 0 , aba287e943a5ad490c4254ade1c6a1f5.png .

当且仅当141f54f0fd05751b8e76655870995e6a.png时，等号成立. ∴　当141f54f0fd05751b8e76655870995e6a.png时，e9d3749ad30f671ef1860655362211.png取得最小值. （8分）

（3）性质①不能推广，例如当141f54f0fd05751b8e76655870995e6a.png时，6e225c298452948dfb3554b4f683d175.png有定义，但cbcb6d9c44629174e756ab2b8e4522a3.png无意义; （10分）

性质②能推广，它的推广形式是4e1a5cab3302a74221ecc54dedac77ac.png，x R , m是正整数. （12分）

事实上，当m＝１时，有54d965c2cefa52339fb09fc9f10d6c8e.png.

　当m≥２时.5af849b7962d297a4c38a3e42f9727b3.png

　 5c45a936aa26234b5320e0a669208d71.png5c35e829f8dff779224a2e05954faab3.png9317d0ece8213f0374da6d3bc063.png．（14分）